NOTAS SOBRE LA VIDA DE GALOIS Y SU INFLUENCIA MATEMÁTICA

Andrea Solotar*

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Resumen

En 2011 se cumplieron 200 años del nacimiento de Evariste Galois. En este artículo contaremos quién fue Galois y cómo algunas de sus ideas influyeron en la matemática.

 

1 Algunos comentarios breves sobre su vida

Describamos primero brevemente su vida, que fue muy corta, ya que murió en un duelo a los 21 años. Nacido en una familia republicana de la pequeña burguesía producto de la Revolución Francesa, realizó sus estudios secundarios en el Lycée Louis le Grand de Paris. Fue un alumno de desempeño irregular, que a partir de 1827 empezó a demostrar su genio matemático, y a interesarse en particular en la resolución de ecuaciones por radicales. Encontró variados inconvenientes en su vida académica. Además, su padre se suicidó en 1829 como resultado de los ataques políticos recibidos mientras era intendente de Bourg–la–Reine, que en ese momento era un pueblo cercano a Paris -hoy es un suburbio-. En ese contexto Galois empezó a desarrollar sus propias investigaciones matemáticas, de las cuales hablaremos posteriormente.

A partir de 1830 militó activamente en política defendiendo ideas republicanas y resultó expulsado de la Ecole Normale a causa de un texto que publicó en la Gazette des Ecoles. Mientras el ministerio decidía sobre su situación, Galois publicó un artículo reprochando al sistema de enseñar a los alumnos a reproducir conocimientos en lugar de formarlos para la reflexión. También, por pedido de Poisson, redactó una segunda versión de un artículo matemático que había presentado anteriormente a la Académie des Sciences. Por proble­mas políticos pasó en prisión el mes de mayo de 1831 y poco tiempo después su artículo fue rechazado por incomprensible.

El 14 de julio de 1831 fue encarcelado nuevamente. En prisión continuó con su trabajo matemático, hasta que fue liberado a fines de abril de 1832.

Murió al día siguiente de haberse batido a duelo, el 31 de mayo de 1832. Los trabajos matemáticos de Galois fueron publicados en 1843 a propuesta de Liouville y a partir de entonces ampliamente reconocidos.

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2 Sobre la obra matemática

Galois trabajó sobre uno de los temas de moda de la época: la resolución de ecuaciones algebraicas, más precisamente sobre las características que una ecuación polinomial tiene que cumplir para que sus soluciones (llamadas raíces) puedan ser calculadas a partir de sus coeficientes por ”operaciones simples”. Esto se llama resolución por radicales. La novedad de su trabajo está en que dejó de buscar métodos de resolución -lo cual constituía el método usado desde la antigüedad -para concentrarse en estudiar propiedades estructurales rela­cionadas con la ecuación, las cuales permiten descubrir si esta es o no resoluble por radicales. Galois usó las simetrías que existen entre las diferentes raíces, cua­lesquiera que estas sean. Estas simetrías forman lo que actualmente se conoce como un grupo (ver la siguiente sección). El grupo de simetrías de una ecuación algebraica lleva el nombre de grupo de Galois de la ecuación, o más precisamente de la extensión de cuerpos obtenida agregando las raíces al cuerpo donde viven los coeficientes de la ecuación.

Según Jean Dieudonné, los escritos de Galois resultan hoy más claros que aquellos textos que en su momento pretendieron explicarlos. El marco histórico es el siguiente: a comienzos del siglo XIX se habían dado fórmulas para expresar las soluciones de ecuaciones polinomiales de segundo, tercer y cuarto grado en función de sus coeficientes, usando operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división, radicación) pero se desconocía cómo hacer esto para grados mayores y si era posible. Cauchy había trabajado en ellos, estudiando las permutaciones entre las raíces. Abel había establecido la imposibilidad de resolver una ecuación polinomial genérica de grado mayor o igual que 5 por radicales.

En 1830, Galois presentó sin demostración las condiciones que las ecuaciones polinomiales primitivas (correspondientes a polionomios irreducibles) deben cum­plir para ser resolubles por radicales. Sus resultados (en una versión de 1831) fueron encontrados por Liouville entre los escritos de Galois. En este texto se establecen las bases de la teoría de grupos.

 

3 ¿Qué es un grupo?

Un grupo es un conjunto de elementos sobre el cual uno puede efectuar una operación binaria, que verifica ciertas propiedades. Podemos pensar en un conjunto de números y la suma, o en un conjunto de funciones y la composición. Por ejemplo los números enteros con la suma forman un grupo, ya que podemos verificar en él las siguientes reglas:

 

  • La primera es simple: el resultado de la operación debe seguir perteneciendo al conjunto.
  • La segunda regla es la asociatividad de la operación.
  • La tercera dice que debe existir un elemento del grupo que no tenga ningún efecto cuando interviene en la operación. Por ejemplo el elemento 0 juega ese papel en el ejemplo de los enteros. Este se llama ”elemento neutro”.
  • La cuarta regla dice que dado un elemento, siempre existe otro (que de­pende de él) tal que aplicándoles a ambos la operación obtenemos el ele­mento neutro.

  

El conjunto de los números racionales no nulos con la multiplicación es otro ejemplo de grupo. Pero los números naturales con la suma no forman un grupo.

El concepto de grupo interviene en numerosas situaciones matemáticas. Con­sideremos por ejemplo los grupos de transformaciones geométricas, en particular aquellas que dejan invariante un triángulo equilátero. Se trata de las rotaciones cuyos ángulos son 0 grados, 120 grados y 240 grados con centro en el baricentro del triángulo, y de las simetrías con ejes en las tres rectas que pasan respecti­vamente por un vértice del triángulo y el baricentro. Este grupo está entonces formado por seis elementos, y la operación considerada es la composición -es decir la aplicación sucesiva- de transformaciones.

Podríamos, en lugar de esto, considerar la situación desde otro punto de vista: numerar con 1, 2, 3 los vértices del triángulo, ubicándolos en la primera fila de las matrices que siguen y, en la segunda fila, ubicar estos números permutándolos de todas las formas distintas posibles. Obtenemos entonces las siguientes seis posibilidades:

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Vemos que si remplazamos los números 1, 2 y 3 por los nombres de los vértices del triángulo podemos identificar las simetrías que describimos antes con las permutaciones, por lo cual este último conjunto, con la operación que corresponde a la composición de simetrías, es también un grupo.

Como podemos suponer luego de examinar este ejemplo, el concepto de grupo permite actualmente a los matemáticos dar un mismo modelo para un gran número de situaciones diferentes.

 

4 El concepto de grupo según Galois

Evariste Galois fue el primero en usar la palabra grupo en sentido matemático, en su trabajo de 1830 titulado Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (editado en 1846 en el tomo 11 del Journal de Liouville), rechazado como ya comentamos por la Académie des Sciences. En el contexto de la época, Galois, quien conocía en detalle los trabajos anteriores sobre el tema, procuraba distinguir las ecuaciones resolubles por radicales de aquellas que no lo son. Para ello, contrariamente a todo lo hecho anteriormente, Galois separó en cierto modo la resolución del problema de los objetos de los cuales partía, tal como vimos con las simetrías del triángulo equilátero, centrando su atención sobre un objeto nuevo que él llamó ”grupo de una ecuación”. El razonamiento consistía en considerar todas las formas posibles de listar las n raíces de un polinomio de grado n. Galois seleccionaba, de entre todas estas permutaciones posibles de las raíces un cierto subconjunto, que satisface ciertas condiciones suplementarias. El estudio de este subgrupo del grupo de permutaciones de las raíces le permitía entonces responder a la pregunta original.

Veamos un ejemplo. Supongamos que x1, x2 y x3 son las tres raíces de un polinomio de grado 3. Partimos entonces del siguiente grupo de permutaciones:

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De acuerdo al polinomio, el grupo de la ecuación podrá estar formado por ejemplo por:

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La idea de Galois consistió en examinar si este grupo es o no, en el lenguaje actual soluble, y en este caso lo es.

 

La notación y redacción del artículo de Galois son muy distintas de las usadas actualmente y las definiciones no son precisas. La noción de definición o de demostración rigurosa en matemática fue evolucionando con el transcurso de los siglos. A comienzos del siglo XIX podía suceder que los matemáticos usaran un concepto cuya definición no sería hoy del todo rigurosa. Por ejemplo, entre 1800 y 1830 se debatía cómo introducir los números negativos, las cantidades infinitas o las funciones derivadas sin que ello impidiera a los matemáticos usar estos conceptos.

Es importante notar también que el punto de vista adoptado por Galois iba en contra de lo que en su época se consideraba el método correcto para resolver el problema de calcular las raíces de las ecuaciones por radicales. Era entonces más importante encontrar soluciones aproximadas que estudiar en general la factibilidad de hallar las raíces. La solución dada por Galois no era entonces natural para los criterios de la época.

El rechazo de la Académie des Sciences, en 1831, se explica tal vez por estas razones. Cuando, quince años más tarde, fue publicada la Mémoire sur les con­ditions de résolubilité des équations par radicaux en el Journal de mathématiques pures et appliquées de Joseph Liouville, el mundo de la matemática había cam­biado mucho. Felizmente para el desarrollo posterior de la matemática, esta revista prestigiosa, que era leída por numerosos matemáticos en Europa, ase­guró la difusión del trabajo de Galois.

 

* La autora es Profesora del Dto. de Matemática de la FCEN-UBA e Investigadora Principal de CONICET.

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