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Un paper del arXiv
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UMA
Septiembre. Pasó la reunión anual de la UMA, realizada con la Sociedad Matemática de Chile, a la cual no asistí, y
me perdí la charla de Maria Victoria Otero Espinar sobre
competición entre lenguajes.
Este es uno de mis temas favoritos, al que vuelvo una y otra vez. Empecé de casualidad hace muchos años, cuando
alguien me llamó la atención sobre un artículo que había sido mencionado en distintos diarios de todo el mundo. El
artículo, de Abrams y Strogatz, había aparecido en Nature:
Modelling the dynamics of language death. Me
preguntó si se lo podía conseguir, y con ese título fue imposible que no lo leyera.
Con el tiempo, descubrí los trabajos de
Daniel Nettle, y luego los de
otros antropólogos, más los
mapas de Ethnologue (por
ejemplo, exploren los de Nigeria, Indonesia o Papúa-Nueva Guinea, países con más de 500 lenguajes en cada
uno).
Hay una gran comunidad estudiando el problema de la extinción de lenguajes, a la que se han sumado físicos y
matemáticos. Se utilizan diferentes tipos de modelos: simulaciones con agentes, modelos como los del votante o el
de Axelrod, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, etc. Los modelos de agentes (discretos) y
los de campo medio (continuos) capturan ciertos aspectos del problema, y algunos de estos aspectos son más
fáciles de estudiar con unos, pero intratables con los otros.
* * *
Luego, María Victoria dio una charla en el Departamento de Matemática, FCEN, UBA. Hablé del crecimiento de la
carrera de Matemática (y las vinculadas, títulos mixtos con computación y física), que están entre las más
solicitadas en España. Un dato interesante es que en Madrid la nota de corte para el ingreso fue la más alta,
superando a Medicina. También detallé las vinculaciones con industrias, educación media y la divulgación, que
llevaron a la población de matemáticos a una tasa de desempleo que es menor que la mitad de la tasa general de
España.
Un paper del arXiv
Voy a comentar rápido un paper que esté en el arXiv desde el año pasado,
A fractal proof of the infinitude of primes, de Kota
Saito.
Como la demostración es muy sencilla, voy a desarrollarla casi por completo. En realidad, sólo necesitamos una
definición y un par de lemas.
Definición: Dado
C en la recta, su dimensión Box,
DB(C) se define como un límite cuando
d tiende a cero,
DB(C) = lim -log(N(d))/log(d),
donde
N(d) es el mínimo número de intervalos de longitud
d que necesito para cubrir
C.
Lema 1: Si
A y
B son conjuntos en la recta, y
AB es el conjunto de todos
los productos entre los elementos de
A y de
B, entonces
DB(AB) es menor o igual que DB(A) + DB(C).
Lema 2:
Si
A es el conjunto de números
(1/n) con
n natural,
DB(A)=1/2.
El Lema 1 se puede ver en cualquier libro clásico: Falconer, Mattila, etc. La demostración del 2 es un ejercicio
sencillo, una cuenta parecida a la que sigue:
Lema 3: Si
Pp es el conjunto de todas las potencias naturales de un primo
p, digamos
(1/p^k), entonces
DB(Pp)=0.
Demostración: Tomemos
d=1/p^n para un
n fijo. Ahora, con
n intervalos cubrimos
seguro
Pp, porque podemos usar el [0,d], y luego, como mucho, uno para cada uno de los n-1 números
restantes.
Calculemos
log(N(d)) y
log(d):
log(N(d)) = log(N(1/p^n)) = log(n)
log(d) = log(1/p^n)) = n log(1/p)
Y listo, porque
log(n)/n tiende a cero.
Ahora sí, el teorema:
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Supongamos que fueran finitos,
p,..., q. Como cada número es producto de potencias
de éstos,
A =
Pp ...
Pq
Pero entonces
1/2 = DB(A) < DB(Pp) ... DB(Pq) = 0
.
Tremendo!
En un rincón de la red
Visto en Facebook
La profesora Hartkopf dictando su curso "Fracciones: cómo enfrentarse a ellas y resolver todos los problemas#.
* * *
Solo en twitter
Via
Alessandro Vespignani:
En el trabajo estudian la red de pases entre los jugadores. El paper completo se puede ver (gratis) aquí,
Scientific Reports 9 13602 (2019).
Personalmente, la evoluci�n de los parámetros de la red a lo largo de un partido crítico me parece lo mejor:
Un problem(it)a
7.- Biyección: Tenemos una función
f del (1, ..., n) en sí mismo, biyectiva. ¿Es cierto que para
algún N se tiene que componer
f N veces es la identidad? Es decir,
f(f(...(i))...) = i para todo
i
entre 1 y n?
* * *
Solución del mes anterior
6.- Pescadores: Nicolás con su hijo, y Pedro con su hijo, fueron a pescar. Nicolás pescó tantos como su
hijo. Pedro pescó el triple que su hijo. Entre todos, trajeron 35 pescados.
¿Cómo se llama el hijo de Pedro?
Solución: Si el hijo de Nicolás pescó
x, y el hijo de Pedro pescó
y, en total
pescaron
x+x+y+3y = 2x + 4y = 2(x+2y)
Como es una cantidad par, nunca puede ser 35.
Pero observemos que no leímos la pregunta... Con los datos que nos dan, qué pasaría si Nicolás fuera el hijo de
Pedro: ahora el hijo de Nicolás pescó
x, Nicolás también pescó
x, y Pedro pescó
3x, con lo cual
x+x+3x = 5x = 35
y encontramos
x=7.
Es decir, el hijo de Pedro se llama Nicolás.
* * *
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jpinasco@gmail.com.